Propriété de Pythagore et sa réciproque

I. Calculer la longueur d’un côté : la propriété de Pythagore

Si un triangle est rectangle alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Triangle ABC rectangle en A

C’est-à-dire : BC² = AB² + AC²

Exemples : calcul d’une longueur

Triangle IJK rectangle en I, avec IJ = 5 cm et IK = 6 cm

Calculer JK.

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Le triangle IJK est rectangle en I, d’après la propriété de Pythagore :

JK² = IJ² + IK²

JK² = 5² + 6² = 25 + 36 = 61

JK = √61 cm (valeur exacte), soit JK ≈ 7,8 cm.

Triangle RST rectangle en S, avec ST = 2 cm et RT = 5 cm

Calculer RS.

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Le triangle RST est rectangle en S. D’après la propriété de Pythagore :

RT² = RS² + ST²

5² = RS² + 2², donc RS² = 25 − 4 = 21

RS = √21 cm (valeur exacte), soit RS ≈ 4,6 cm.

II. Savoir si un triangle est rectangle : la réciproque et la contraposée de la propriété de Pythagore

Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est l’angle opposé au plus grand côté.

Exemples

Le triangle ABC est-il rectangle ?

Triangle ABC avec AB = 10 cm, AC = 6 cm et BC = 8 cm

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Le plus grand côté est [AB].

D’une part : AB² = 10² = 100.

D’autre part : AC² + BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.

AB² = AC² + BC² : d’après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

Le triangle MNP est-il rectangle ?

Triangle MNP avec MN = 4,6 cm, MP = 3,1 cm et NP = 3,4 cm

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Le plus grand côté est [MN].

D’une part : MN² = 4,6² = 21,16.

D’autre part : MP² + NP² = 3,1² + 3,4² = 9,61 + 11,56 = 21,17.

MN² ≠ MP² + NP² : d’après la contraposée de la propriété de Pythagore, le triangle MNP n’est pas rectangle.